Bayes Kuralı

Bayes kuralı, olasılık teorisinde, bir hipotezin verilere dayalı olarak güncellenmesine olanak tanır. Başlangıçtaki inançlarımızı, yeni bilgilerle nasıl değiştireceğimizi gösterir. Matematiksel ifadesi aşağıdaki gibidir:

$$P(H|E)=\frac{P(E|H)\cdot P(H)}{P(E)}$$

Burada:

• ( P(H | E) ) = Hipotez ( H )‘nin, kanıt ( E ) verildiğinde olasılığı (posterior olasılık).
• ( P(E | H) ) = Kanıt ( E )‘nin, hipotez ( H ) doğru olduğunda gözlenme olasılığı (likelihood).
• ( P(H) ) = Hipotez ( H )‘nin, kanıt olmadan önceki olasılığı (prior olasılık).
• ( P(E) ) = Kanıt ( E )‘nin gözlenme olasılığı (marginal likelihood).

Örnek

Diyelim ki bir tıbbi test, bir hastalığı %99 doğrulukla tespit ediyor. Hastalığın popülasyonda %1 oranında yaygın olduğunu biliyoruz. Bir kişinin testi pozitif çıkarsa, bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

• ( P(H) = 0.01 ): Kişinin hasta olma olasılığı.
• ( P(E | H) = 0.99 ): Testin hasta bir kişide pozitif çıkma olasılığı.
• ( P(E | \neg H) = 0.01 ): Testin sağlıklı bir kişide yanlış pozitif çıkma olasılığı.
• ( P(\neg H) = 0.99 ): Kişinin sağlıklı olma olasılığı.

Öncelikle, ( P(E) )‘yi hesaplamamız gerekiyor:

$$P(E)=P(E|H)\cdot P(H)+P(E|\neg H)\cdot P(\neg H)$$ $$P(E)=0.99\cdot 0.01+0.01\cdot 0.99=0.0198$$

Sonra, Bayes kuralını kullanarak ( P(H | E) )‘yi bulalım:

$$P(H|E)=\frac{P(E|H)\cdot P(H)}{P(E)}$$ $$P(H|E)=\frac{0.99\cdot 0.01}{0.0198}\approx 0.5$$

Bu durumda, testin pozitif çıkması durumunda kişinin gerçekten hasta olma olasılığı %50’dir. Bu örnek, bir testin doğruluğu ve hastalığın popülasyondaki yaygınlığı arasındaki ilişkinin nasıl değerlendirileceğini gösterir.