Curve Fitting: Least Squares & Linearization

Tarih: 2025-12-12

Ders: Numerical Methods (Week 9)

Konu: Eğri Uydurma, Matris Formülasyonu ve Lineerleştirme

Kaynak: 18 Nisan (Week 9).pdf

1. Felsefesi: Neden “Least Squares”?

Gerçek dünya verisi gürültülüdür. Elimizdeki veri noktalarından ( $x_{i}, f (x_{i})$ ) tam olarak geçen bir fonksiyon bulmak (Interpolation) her zaman mantıklı değildir; çünkü bu, gürültüyü de modellemek anlamına gelir.

Bunun yerine, verinin genel eğilimini (trend) temsil eden en iyi fonksiyonu ( $g (x)$ ) ararız. “En iyi” ne demektir? Hatayı en aza indiren demektir.

Hatayı ( $E$ ) tanımlarken mutlak değer yerine kareler toplamını seçeriz. Bunun iki sebebi vardır:

Büyük hataları daha çok cezalandırmak.
Türev alabilmek (Mutlak değerin $x = 0$ ‘da türevi yoktur, ama kareli fonksiyon pürüzsüzdür).

Amaç fonksiyonumuz1:

$E = \sum_{i = 0}^{m} (f (x_{i}) - g (x_{i}))^{2}$

Bu toplam hatayı minimize etmek için, katsayılara ( $a_{0}, a_{1}, \dots$ ) göre kısmi türev alır ve sıfıra eşitleriz2:

$\frac{\partial E}{\partial a _{k}} = 0$

2. Matris Mimarisi (The Normal Equations)

Türev işlemlerini yaptığımızda karşımıza lineer bir denklem sistemi çıkar. Bunu matris formunda yazmak, bilgisayarda çözmek için şarttır. Bu matrislere Normal Denklemler denir.

A. Lineer Uydurma (Linear Fit)

Model: $g (x) = a_{0} + a_{1} x$

Bilinmeyen sayısı: 2 ( $a_{0}, a_{1}$ ) $\to$ Matris Boyutu: $2 \times 2$ 3

$[n \sum x_{i} \sum x_{i} \sum x_{i}^{2}] [a_{0} a_{1}] = [\sum f (x_{i}) \sum f (x_{i}) x_{i}]$

B. Kuadratik Uydurma (Quadratic Fit)

Model: $g (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$

Bilinmeyen sayısı: 3 ( $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ ) $\to$ Matris Boyutu: $3 \times 3$ 4

$n \sum x_{i} \sum x_{i}^{2} \sum x_{i} \sum x_{i}^{2} \sum x_{i}^{3} \sum x_{i}^{2} \sum x_{i}^{3} \sum x_{i}^{4} a_{0} a_{1} a_{2} = \sum f (x_{i}) \sum f (x_{i}) x_{i} \sum f (x_{i}) x_{i}^{2}$

Dikkat: Matris her zaman simetriktir. Köşegen boyunca ( $n, \sum x^{2}, \sum x^{4}$ ) terimlerin derecesi artar.

3. Lineerleştirme (Linearization)

Doğa her zaman $y = m x + c$ şeklinde davranmaz. Üstel büyümeler, doyum eğrileri (saturation) ve güç yasaları yaygındır. Bu non-lineer modelleri çözmek zordur.

Mühendislik hilesi: Modeli değiştiremiyorsan, eksenleri değiştir.

Veriyi dönüştürerek ( $T r an s f or ma t i o n$ ), eğriyi bir doğruya ( $Y = a X + b$ ) benzetiriz.

Dönüşüm Tablosu (Slayt 3 Özeti)

Orijinal Model	Denklem Formu	Dönüşüm (Transformation)	Yeni Lineer Form (Y=aX+b)
Exponential	$y = a_{0} e^{a_{1} x}$	$ln$ al	$ln y = a_{1} x + ln a_{0}$ 5
Saturation	$y = a_{0} \frac{x}{a _{1} + x}$	Ters çevir ( $1/ y$ )	$\frac{1}{y} = \frac{a _{1}}{a _{0}} \frac{1}{x} + \frac{1}{a _{0}}$ 6
Power Law	$y = a_{0} x^{a_{1}}$	$ln$ al	$ln y = a_{1} ln x + ln a_{0}$ 7
Inverse	$y = \frac{a _{1}}{x} + a_{0}$	$X = 1/ x$	$y = a_{1} (\frac{1}{x}) + a_{0}$ 8

4. Uygulama Örneği: Ters Fonksiyon

Problem: Verilen veri setine $y = \frac{a _{1}}{x} + a_{0}$ modelini uydur. 9

Adım 1: Dönüşümü Tanımla

Bu modelde $y$ zaten lineer duruyor, sorun $x$ ‘in paydada olması.

Yeni değişken: $X = \frac{1}{x}$
Yeni çıktı: $Y = y$
Denklem: $Y = a_{1} X + a_{0}$ (Burada Eğim $a = a_{1}$ , Kesişim $b = a_{0}$ ) 10

Adım 2: Matrisi Kur

Artık matriste $\sum x_{i}$ yerine $\sum X_{i}$ (yani $\sum \frac{1}{x _{i}}$ ) kullanacağız.

$[n \sum \frac{1}{x _{i}} \sum \frac{1}{x _{i}} \sum (\frac{1}{x _{i}})^{2}] [a_{0} a_{1}] = [\sum y_{i} \sum y_{i} (\frac{1}{x _{i}})]$

Adım 3: Hesapla (Slayttaki Verilerle)

$\sum \frac{1}{x _{i}} = 1.95$
$\sum (\frac{1}{x _{i}})^{2} = 1.3525$
Çözüm sonucu: $a_{1} \approx 2.1337$ , $a_{0} \approx 0.9087$ 11

Sonuç Fonksiyonu:

$g (x) = \frac{2.1337}{x} + 0.9087$

Mühendis Notu: Slaytta sonuç kısmında $a_{0}$ değeri bir yazım hatasıyla $0.8087$ olarak geçirilmiş olabilir12, ancak matris çözümünden gelen mantıksal değer $0.9087$ civarıdır. Hesaplamalarda her zaman matris çıktısına güven.

Emin Meydanoğlu

Explorer

Curve fitting and least square