Düzgün Yakınsama için Supremum Testi (T

ÇOK İYİ NOT

1. Temel Fikir

Bir $f_{n} (x)$ fonksiyon dizisinin $f (x)$ fonksiyonuna noktasal yakınsaması, her bir $x$ noktasının kendi hızında $f (x)$ ‘e yaklaşması demektir.

Düzgün yakınsama ise çok daha güçlü bir koşuldur: Tüm $x$ noktalarının “aynı anda”, “kolektif” bir şekilde $f (x)$ ‘e yaklaşmasını ister.

$T_{n}$ (veya $M_{n}$ ) testi, bu “kolektif” yakınsamanın en kötü durumunu ölçen bir araçtır.

2. T_n Testinin Tanımı

$f_{n}$ dizisi $D$ tanım kümesi üzerinde $f$ fonksiyonuna noktasal yakınsasın. $T_{n}$ (veya $M_{n}$ ) terimi şu şekilde tanımlanır:

$T_{n} = sup_{x \in D} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$

Bu ne demektir? $T_{n}$ , $f_{n} (x)$ fonksiyonu ile limit fonksiyonu $f (x)$ arasındaki farkın (yani “hata”) $D$ kümesi üzerindeki en büyük (supremum) değeridir. $T_{n}$ ‘e o $n$ . adımdaki “maksimum hata” olarak bakabiliriz.

3. Ana Teorem (Testin Kuralı)

$f_{n}$ dizisinin $f$ ‘e düzgün yakınsaması için gerek ve yeter koşul:

$lim_{n \to \infty} T_{n} = 0$

Yani, “en kötü hata”nın ( $T_{n}$ ) kendisi $n$ sonsuza giderken sıfıra yaklaşıyorsa, yakınsama düzgündür. Eğer sıfırdan farklı bir sabite yaklaşıyor veya 0’a gitmiyorsa, yakınsama düzgün değildir.

4. Testin Pratik Uygulaması

Bu teoremi iki temel senaryoda kullanırız:

Senaryo A: Düzgün Yakınsaklığı ÇÜRÜTMEK (Hızlı Yol)

Hedef: $lim_{n \to \infty} T_{n} \neq = 0$ olduğunu göstermek.

Bunun için $T_{n}$ ‘nin tam değerini (supremum) bulmak zorunda değiliz. $T_{n}$ ‘nin tanımı gereği, herhangi bir $x$ için $T_{n} \geq ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ olduğunu biliyoruz.

Strateji:

$n$ ‘ye bağlı özel bir nokta ( $x_{n}$ ) seçeriz. Bu $x_{n}$ noktası genellikle $f_{n} (x)$ ‘in “tepe noktasını” veya “en çok saptığı” yeri temsil eder.
$T_{n} \geq ∣ f_{n} (x_{n}) - f (x_{n}) ∣$ eşitsizliğini kullanırız.
$∣ f_{n} (x_{n}) - f (x_{n}) ∣$ değerinin $n \to \infty$ iken 0’dan farklı bir sabite (örneğin $1$ , $1/2$ , $1/ e$ ) gittiğini gösteririz.
Sonuç: Eğer $lim ∣ f_{n} (x_{n}) - f (x_{n}) ∣ = C \neq = 0$ ise, o zaman $lim T_{n} \geq C$ olmalıdır. $lim T_{n} \neq = 0$ olduğu için yakınsama DÜZGÜN DEĞİLDİR.

Örnekler:

$f_{n} (x) = \frac{2 n x ^{2}}{n ^{2} x ^{4} + 1}$ , $f (x) = 0$ .
- $x_{n} = \frac{1}{n}$ seç.
- $∣ f_{n} (x_{n}) - 0∣ = \frac{2 n ( 1/ n )}{n ^{2} ( 1/ n ^{2} ) + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1$ .
- $T_{n} \geq 1$ $⟹$ $lim T_{n} \geq 1$ ( $\neq = 0$ ). Düzgün değil.
$f_{n} (x) = \frac{x}{n} e^{- ∣ x ∣/ n}$ , $f (x) = 0$ .
- $x_{n} = n$ seç.
- $∣ f_{n} (x_{n}) - 0∣ = \frac{n}{n} e^{- ∣ n ∣/ n} = e^{- 1} = \frac{1}{e}$ .
- $T_{n} \geq \frac{1}{e}$ $⟹$ $lim T_{n} \geq \frac{1}{e}$ ( $\neq = 0$ ). Düzgün değil.

Senaryo B: Düzgün Yakınsaklığı KANITLAMAK (Zor Yol)

Hedef: $lim_{n \to \infty} T_{n} = 0$ olduğunu göstermek.

$g_{n} (x) = ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ fark fonksiyonunu tanımla.
Bu $g_{n} (x)$ fonksiyonunun $x$ ‘e göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek maksimum değerini bul. Bu maksimum değer $T_{n}$ ‘dir.
Bulunan $T_{n}$ (ki $n$ ‘ye bağlı bir ifade olmalı) ifadesinin $lim_{n \to \infty} T_{n} = 0$ olduğunu göster.

Örnek:

$f_{n} (x) = \frac{2 x}{π} arctan (n x)$ , $f (x) = ∣ x ∣$ .
$T_{n} = sup_{x \in R} \frac{2 x}{π} arctan (n x) - ∣ x ∣$
(Zorlu bir analizden sonra) $T_{n} = \frac{2}{nπ}$ bulunur.
$lim_{n \to \infty} T_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{2}{nπ} = 0$ .
Sonuç: Yakınsama DÜZGÜNDÜR.

5. Hızlı Alternatif: Süreklilik Testi

$T_{n}$ testine girmeden önce her zaman şu teoremi kontrol et:

Teorem: Eğer dizideki her $f_{n} (x)$ fonksiyonu sürekli ise, ama noktasal limit fonksiyonu $f (x)$ süreksiz ise, yakınsama DÜZGÜN OLAMAZ.

Bu, $T_{n}$ hesabı yapmaktan çok daha hızlı bir çürütme yöntemidir.

Örnek:

$f_{n} (x) = \frac{n x ^{2} + 1}{n x + 1}$ , $x \in [0, 1]$ .
$f_{n} (x)$ fonksiyonları $[0, 1]$ üzerinde süreklidir.
Noktasal limit: $f (x) = {1, x, x = 0 x \in (0, 1]$
$f (x)$ fonksiyonu $x = 0$ noktasında süreksizdir.
Sonuç: $T_{n}$ hesabına gerek yok, yakınsama DÜZGÜN DEĞİLDİR.

Emin Meydanoğlu

Explorer

Düzgün Yakınsama için Supremum Testi (T_n Testi)