Subspace test

Alt Uzay Teoremi ve Kanıtı

Lineer Cebir notları: Alt uzay tanımı, Subspace Test teoremi ve kanıtı. İlgili: Vector space axioms cheat sheet, Polinomlar, Kapalılık

---

1. Alt Uzay (Subspace) Tanımı

Bir $V$ vektör uzayının boş olmayan bir $W$ alt kümesi, eğer $V$‘deki tanımlı işlemlerle (toplama ve skaler çarpma) kendi başına bir vektör uzayı oluşturuyorsa, $W$‘ya $V$‘nin bir Alt Uzayı (Subspace) denir.

Matematiksel gösterim: $W\subseteq V$.

---

2. Teorem 4.2 (Subspace Test)

Bir alt kümenin alt uzay olup olmadığını anlamak için 10 vektör uzayı aksiyomunu tek tek kontrol etmeye gerek yoktur. Aşağıdaki iki “Kapalılık” (Closure) şartının sağlanması yeterlidir.

Teorem: Boş olmayan bir $W\subseteq V$ kümesi, $V$‘nin bir alt uzayıdır ancak ve ancak şu iki şart sağlanırsa:

1. Closure under Addition (Toplamaya Göre Kapalılık): Her $u,v\in W$ için, $u+v\in W$ olmalıdır.

2. Closure under Scalar Multiplication (Skaler Çarpmaya Göre Kapalılık): Her $c\in \mathbb{R}$ ve $u\in W$ için, $c\cdot u\in W$ olmalıdır.

Kanıt (Proof)

Yön 1 ($\Rightarrow$): Eğer $W$ zaten bir alt uzay ise, tanım gereği bir vektör uzayıdır. Dolayısıyla bir vektör uzayının sağlaması gereken tüm kapalılık özelliklerini (1 ve 2) zaten sağlar.

Yön 2 ($\Leftarrow$): Diyelim ki $W$ kümesi 1 ve 2 numaralı kapalılık şartlarını sağlıyor. $W$ bir vektör uzayı mıdır?

• Miras Kalan Özellikler (Inheritance): $W$ kümesi $V$‘nin içinde olduğu için ($W\subseteq V$), vektörlerin genel davranış kuralları (Değişme, Birleşme, Dağılma özellikleri) $V$‘den miras alınır. Örneğin, $V$‘deki elemanlar için $u+v=v+u$ geçerli olduğu için, bu $W$‘daki elemanlar için de otomatik olarak geçerlidir.
• Varlık Şartları (Existence): Bir vektör uzayı için kritik olan Sıfır Vektörü ($0$) ve Ters Eleman ($-u$) kümede var mıdır?
  • 2 numaralı özellikten (Skaler Kapalılık) faydalanırız.
  • Herhangi bir $u\in W$ için $c=0$ seçilirse: $0\cdot u=0$. Kapalılık gereği $0\in W$ olur.
  • Herhangi bir $u\in W$ için $c=-1$ seçilirse: $(-1)\cdot u=-u$. Kapalılık gereği $-u\in W$ olur.

Tüm şartlar sağlandığına göre, $W$ bir alt uzayıdır.

---

3. Örnek: Derecesi Tam Olan Polinomlar Tuzağı

Soru: $V$, derecesi tam olarak 2 olan polinomlar kümesi olsun. $V=\{a{t}^2+bt+c\mid a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0\}$ Bu küme, tüm polinomlar uzayı $P$‘nin bir alt uzayı mıdır?

Çözüm: Alt uzay değildir. Bunu göstermek için “Toplamaya Göre Kapalılık” kuralının ihlal edildiğini (Counter-Example) bulmak yeterlidir.

1. $W$‘dan iki polinom seçelim: $p_1(t)=1t^2+t+1(\text{Burada }a=1\ne 0,\text{ku¨mede var})$ $p_2(t)=-1t^2+t+1(\text{Burada }a=-1\ne 0,\text{ku¨mede var})$

2. Bu iki polinomu toplayalım: $(p_1+p_2)(t)=(1+(-1))t^2+(1+1)t+(1+1)$ $(p_1+p_2)(t)=0t^2+2t+2=2t+2$

3. Sonuç: Elde edilen $2t+2$ polinomunun derecesi 1’dir. Ancak kümemiz sadece derecesi 2 olanları kabul ediyordu. Sonuç küme dışına çıktığı için $V$ kapalı değildir ve alt uzay olamaz.

Pratik Not: Ayrıca, $a\ne 0$ şartı olduğu için Sıfır Polinomu ($0t^2+0t+0$) bu kümede yoktur. Sıfır vektörü olmayan hiçbir küme, vektör uzayı (veya alt uzay) olamaz.

Bkz: Matematik • Engineering