Noktasal yakınsalığın zayıf yakınsak olması

Bu örnek, noktasal yakınsaklığın en meşhur ve en öğretici örneğidir.

Alıntı (Slayt): “Örnek 2: $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ olmak üzere, her $n\in \mathbb{N}$ için $f_n(x)=x^n$ olsun.”

Açıklama:

Burada bir fonksiyon dizisi tanımlanıyor. Bu, sonsuz tane fonksiyondan oluşan bir listedir:

• $f_1(x)=x$ (düz bir çizgi)

• $f_2(x)=x^2$ (bir parabol)

• $f_3(x)=x^3$ (bir kübik eğri)

• …

• $f_{100}(x)=x^{100}$ (çok daha “sert” bir eğri)

Hepsi $[0,1]$ aralığında tanımlı. Amacımız, $n$ sonsuza giderken bu $f_n$ fonksiyonlarının “limitinin” ne olduğunu bulmak.

Alıntı (Slayt): ”$\forall x\in [0,1]$ için, ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)={\lim }_{n\to \infty }{x}^n=\{\begin{array}{ll}0& ;0\le x<1\\ 1& ;x=1\end{array}=f(x)$.”

Açıklama:

Bu, noktasal yakınsaklık (pointwise convergence) işleminin ta kendisidir. $[0,1]$ aralığından herhangi bir $x$ noktasını sabitliyoruz ve $f_n(x)$‘in (ki bu artık bir sayı dizisidir) limitine bakıyoruz.

Bunu neden iki parça olarak incelediğimizi görelim:

1. Durum 1: $0\le x<1$ ise

   Aralıktan $1$‘den küçük bir $x$ seçelim, örneğin $x=0.5$.

   Şimdi $f_n(0.5)=(0.5{)}^n$ dizisine bakıyoruz. Bu dizi şöyledir:

   $0.5,0.25,0.125,0.0625,\dots$

   Bu sayı dizisinin limiti açıkça $0$‘dır. Aynı şey $x=0.9$ ( $0.9,0.81,0.729,\cdots \to 0$ ) veya $x=0$ ( $0,0,0,\cdots \to 0$ ) için de geçerlidir. $1$‘den küçük herhangi bir sayının üssünü aldıkça sonuç $0$‘a yaklaşır.

2. Durum 2: $x=1$ ise

   Şimdi tam olarak $x=1$ noktasını seçelim.

   $f_n(1)=(1{)}^n$ dizisine bakıyoruz. Bu dizi şöyledir:

   $1,1,1,1,\dots$

   Bu sabit dizinin limiti $1$‘dir.

Dış Bilgi (Bağlantı):

Bu iki durumu birleştirdiğimizde, limitin kendisinin de bir fonksiyon olduğunu görüyoruz. Slayt buna $f(x)$ adını vermiş. Bu $f(x)$ fonksiyonu, $0$‘dan $1$‘e kadar ( $1$ hariç) $y=0$ çizgisi üzerinde ilerler, ancak tam $x=1$ noktasında aniden $y=1$ değerine “zıplar”.

Alıntı (Slayt): “Uyarı 1: Sürekli fonksiyon dizilerinin noktasal limit fonksiyonu süreksiz olabilmektedir.” (ve el yazısı: “$x=1$‘de sürekli değil!“)

Açıklama:

Bu, bu örneğin ana fikridir.

• Dizimizdeki her bir fonksiyon ($f_1(x)=x,f_2(x)=x^2,\dots$) birer polinomdur.

• Polinomlar her yerde süreklidir.

• Yani, sürekli fonksiyonlardan oluşan bir dizimiz var.

• Ancak, bu dizinin “noktasal limiti” olan $f(x)$ fonksiyonu, $x=1$‘de bir sıçrama yaptığından süreksizdir.

Bu, noktasal yakınsaklığın “zayıf” bir yakınsaklık türü olduğunu gösterir. Fonksiyonların sahip olduğu güzel bir özelliği (süreklilik) koruyamayabilir.

Alıntı (Slayt): “Demek ki burada $N=N(ϵ,x)$ olur.” (ve $ϵ-N$ hesabı)

Açıklama:

Bu kısım, neden düzgün yakınsaklığa (uniform convergence) ihtiyaç duyacağımızı matematiksel olarak gösterir.

Noktasal yakınsaklık tanımı der ki: Her $ϵ>0$ ve her bir $x$ için, bir $N$ bulabilirsin ki…

Slayttaki hesap ($n>\frac{\ln ϵ}{\ln x}$) bize bu $N$‘nin formülünü veriyor.

Bu formüle dikkat edin: $N$, sadece $ϵ$‘a değil, aynı zamanda $x$‘e de bağlıdır.

Dış Bilgi (İleriye Bakış):

Bu $N(ϵ,x)=\frac{\ln ϵ}{\ln x}$ formülünde $x\to 1^{-}$ ( $x$, $1$‘e soldan yaklaşır) iken ne olduğuna bakalım:

• $\ln ϵ$ negatiftir (çünkü $ϵ<1$).

• $\ln x$ de negatiftir ve $0$‘a yaklaşır.

• (Negatif) / (Sıfıra yaklaşan negatif) $\to +\infty$

  Anlamı şudur: $x$‘i $1$‘e ne kadar yakın seçersek, aynı $ϵ$ hatasına ulaşmak için o kadar büyük bir $N$ (yani dizide o kadar ileri gitmemiz) gerekir. Asla tüm $x$‘ler için ortak bir $N$ bulamayız. Bu yüzden bu dizi “düzgün yakınsak” değildir.

Önceki örneklerde (Örnek 2, 6, 7) noktasal yakınsaklığın bir sürü soruna yol açtığını gördük:

• Sürekli fonksiyonların limiti süreksiz olabildi ( $x^n$ örneği).

• Sınırlı fonksiyonların limiti sınırsız olabildi ( $\frac{n}{nx+1}$ örneği).

• Limit ve türev işlemleri birbiriyle yer değiştirmedi ( $\frac{\sin nx}{n}$ örneği).

Bu sonuncusu, analizin (Kalkülüs) temel taşları için büyük bir problemdir.

Alıntı (Slayt): “Aşağıdaki eşitlikler ne zaman gerçeklenir?”

• $({\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x){)}^{\prime }\stackrel{?}{=}{\lim }_{n\to \infty }(f_n(x){)}^{\prime }$

• ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b{f}_n(x)dx\stackrel{?}{=}{\int }_a^b{\lim }_{n\to \infty }(f_n(x))dx$

Açıklama:

Bu slayt, tüm konunun motivasyonunu özetliyor. Bize iki temel soru soruyor:

1. Limit ve Türev: “Bir fonksiyon dizisinin limitinin türevini” almakla, “türev dizisinin limitini” almak aynı şey midir? (Örnek 7’de olmadığını gördük).

2. Limit ve İntegral: “Bir fonksiyon dizisinin limitinin integralini” almakla, “integral dizisinin limitini” almak aynı şey midir?

Kalkülüs’te bu işlemleri (türev ve integral) sürekli kullanırız. Eğer limit işlemi bu temel işlemleri bozuyorsa, o zaman “noktasal limit” kavramı analiz yapmak için yeterince güçlü veya güvenilir değildir.

Alıntı (Slayt): “Bu soruların yanıtlarını arayacağız $⟹$ Düzgün yakınsaklık (Uniform Convergence)” 1

Açıklama:

Slayt, bu soruların cevabının “Düzgün Yakınsaklık” olduğunu söylüyor. Bu, noktasal yakınsaklıktan daha güçlü, daha “sağlam” yeni bir yakınsaklık türüdür ve bu tür “patolojileri” (sorunları) engelleyen türdür.

Bkz: Matematik