Weierstrass testi

Weierstrass M-Testi

Weierstrass M-Testi, bir fonksiyon serisinin $\sum f_n(x)$ düzgün yakınsaklığını kanıtlamak için kullanılan en yaygın ve en güçlü araçlardan biridir.

Temel fikri şudur: Eğer fonksiyon serisinin her bir terimini $x$‘ten bağımsız (sabit) ve yakınsak bir sayı serisinin terimleriyle “üstten bastırabilirsek” (dominate edebilirsek), o zaman fonksiyon serimiz düzgün yakınsar.

Bu test, karmaşık bir fonksiyon serisinin düzgün yakınsaklık problemini, daha basit bir sayı serisinin yakınsaklık problemine indirger.

Teoremin İfadesi

$I$ bir aralık olmak üzere, ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$ bir fonksiyon serisi olsun.

Eğer $\forall n\ge 1$ ve $\forall x\in I$ için, $|f_n(x)|\le M_n$ şartını sağlayan ( $x$‘ten bağımsız) pozitif terimli bir $\{M_n\}$ sayı dizisi varsa

VE

${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n$ sayı serisi YAKINSAK ise,

O zaman ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$ fonksiyon serisi $I$ aralığı üzerinde HEM DÜZGÜN YAKINSAKTIR HEM DE MUTLAK YAKINSAKTIR.

---

🎯 Testin Uygulama Adımları

1. Aday $M_n$ Bulma: $f_n(x)$ fonksiyonunun $I$ aralığı üzerindeki maksimum (supremum) değerini bulmaya çalışırız. Genellikle $M_n$ şöyle seçilir: $M_n={\sup }_{x\in I}|f_n(x)|$ Bu, $M_n$‘nin $x$‘e bağlı olmamasını garantiler. $f_n(x)$‘in $x$‘e göre türevini alıp 0’a eşitleyerek bu maksimum değeri bulabiliriz.

2. Sayı Serisini Test Etme: $\sum M_n$ sayı serisini oluştururuz. Bu serinin yakınsak olup olmadığını Seri Testleri (örneğin Oran Testi, Kök Testi, p-Serisi Testi, LKT) kullanarak kontrol ederiz.

3. Sonuç:

   • Eğer $\sum M_n$ yakınsak ise $⟹$ Weierstrass M-Testi’ne göre $\sum f_n(x)$ serisi $I$ üzerinde düzgün yakınsaktır.
   • Eğer $\sum M_n$ ıraksak ise $⟹$ Test sonuç vermez (Inconclusive). Düzgün yakınsak olabilir de, olmayabilir de. Başka bir yöntem denemek gerekir. (Testin başarısız olması, serinin düzgün yakınsak olmadığını kanıtlamaz.)

---

💡 Örnekler

Örnek 1: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin (nx)}{n^2}$ serisi $\mathbb{R}$ üzerinde

1. $M_n$ Bulma: $I=\mathbb{R}$ (tüm reel sayılar). $|f_n(x)|=\left|\frac{\sin (nx)}{n^2}\right|=\frac{|\sin (nx)|}{n^2}$ $x$ ne olursa olsun, $|\sin (nx)|\le 1$ olduğunu biliyoruz. $|f_n(x)|\le \frac{1}{n^2}$ O halde, $x$‘ten bağımsız $M_n=\frac{1}{n^2}$ olarak seçebiliriz.

2. $\sum M_n$ Testi: Sayı serisi ${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$‘dir. Bu, bir p-serisidir ve $p=2>1$ olduğu için YAKINSAKTIR.

3. Sonuç: $\sum M_n$ yakınsak olduğundan, Weierstrass M-Testi’ne göre $\sum \frac{\sin (nx)}{n^2}$ serisi $\mathbb{R}$ üzerinde düzgün yakınsaktır.

Örnek 2: ${\sum }_{n=1}^{\infty }{e}^{nx}$ serisi $[-2,-1]$ aralığında

(Bir önceki sorudaki durumun kısıtlanmış hali)

1. $M_n$ Bulma: $I=[-2,-1]$. $f_n(x)=e^{nx}$ fonksiyonu $x$‘e göre artan bir fonksiyondur (çünkü $n>0$). Bu nedenle, kapalı aralıktaki maksimum değerini sağ uç noktada ($x=-1$) alır. $|f_n(x)|=e^{nx}\le e^{n(-1)}=e^{-n}={\left(\frac{1}{e}\right)}^n$ O halde, $M_n=(1/e{)}^n$ seçebiliriz.

2. $\sum M_n$ Testi: Sayı serisi ${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n={\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{e}\right)}^n$‘dir. Bu, ortak oranı $r=1/e\approx 1/2.718<1$ olan bir geometrik seridir. Bu nedenle YAKINSAKTIR.

3. Sonuç: $\sum M_n$ yakınsak olduğundan, Weierstrass M-Testi’ne göre $\sum e^{nx}$ serisi $[-2,-1]$ aralığında düzgün yakınsaktır.

Örnek 2'nin Tuzağı

Eğer aralığı $I=[-2,0)$ olarak alsaydık: $M_n={\sup }_{x\in [-2,0)}|e^{nx}|={\sup }_{x\in [-2,0)}{e}^{nx}=e^{n\cdot 0}=1$ $\sum M_n=\sum 1$ serisi ıraksaktır. Bu durumda Weierstrass M-Testi sonuç vermezdi. (Bu, serinin düzgün yakınsak olmadığını kanıtlamaz, sadece testin çalışmadığını gösterir. $x=0$ civarındaki davranış için $n$. terim testine bakmamız gerekir.)

İlgili Konular

• Düzgün Yakınsaklık