Düzgün yakınsaklık neden noktasal yakınsaklığı kapsar

See also: Yakınsaklık Türleri ve Hiyerarşisi, Düzgün yakınsamada sınırlılık, Cauchy dizileri

Teorem 1: Düzgün Yakınsaklık, Noktasal Yakınsaklıktan Güçlüdür

Alıntı (Teorem): “Eğer $\{f_n\}$ fonksiyon dizisi $f$‘e düzgün yakınsıyor ise, $\{f_n\}$ $f$‘e noktasal olarak yakınsar.” 1

Açıklaması (Sezgisel Anlamı):

Bu teorem, iki yakınsaklık türü arasındaki hiyerarşiyi belirler.

• Düzgün Yakınsaklık (DY): “Güçlü” koşuldur. Bütün $x$ noktalarının limite “aynı hızda” ve “birlikte” yaklaşmasını ister. $N$ eşiği tüm $x$‘ler için ortaktır ($N(ϵ)$).

• Noktasal Yakınsaklık (NY): “Zayıf” koşuldur. Her $x$ noktasının limite “kendi hızında” yaklaşmasına izin verir. $N$ eşiği her $x$ için farklı olabilir ($N(ϵ,x)$).

Anahtar: HIZ.

Teorem diyor ki: Eğer “güçlü” olan DY koşulu sağlanıyorsa, “zayıf” olan NY koşulu otomatik olarak sağlanmış olur.

İspatın Adımları (Neden DY $⟹$ NY?)

İspat, DY’nin tanımının NY’nin tanımını zaten içerdiğini gösterir.

Adım 1: DY’nin Tanımı (Elimizde Ne Var?)

Düzgün yakınsaklığın tanımı şudur22:

“Siz bana bir $ϵ$ hata payı verdiğinizde, ben size tüm $x$‘ler için ortak olan bir $N(ϵ)$ eşiği bulabilirim. Bu $N$‘den sonraki her $n$ için, $|f_n(x)-f(x)|$ hatası bütün $x$‘ler için aynı anda $ϵ$‘dan küçük kalır.” 3

Adım 2: NY’nin Tanımı (Neyi Kanıtlamak İstiyoruz?)

Noktasal yakınsaklık ise şunu ister4:

“Siz bana bir $ϵ$ ve belirli bir $x_0$ noktası verdiğinizde, ben size o $x_0$‘a özel bir $N$ eşiği bulabilirim. O $N$‘den sonraki her $n$ için $|f_n(x_0)-f(x_0)|$ hatası $ϵ$‘dan küçük kalır.” 5

Adım 3: İkisini Birleştirmek (Mantık)

İspat şöyle ilerler:

1. NY’yi kanıtlamak için, aralıktan rastgele tek bir $x_0$ noktası seçelim6.

2. Bizim elimizde DY’nin garantisi var: tüm $x$‘ler için ortak çalışan bir $N(ϵ)$ eşiğimiz zaten mevcut7777.

3. Eğer bu $N(ϵ)$ eşiği tüm $x$‘ler için çalışıyorsa, o zaman bizim seçtiğimiz o tek $x_0$ noktası için de çalışmak zorundadır8.

4. Bu durumda, $x_0$ noktamız için bir $N$ eşiği bulmuş olduk (o ortak $N$‘yi kullandık).

5. Bu, tam olarak $x_0$ noktasında noktasal yakınsaklığın tanımıdır9.

6. $x_0$‘ı rastgele seçtiğimiz için, bu mantık aralıktaki tüm $x$ noktaları için geçerlidir. Dolayısıyla dizi noktasal yakınsaktır10.

Alıntı (İspatın Özeti): “Bu kadar — yani düzgün yakınsama tanımındaki ’$\exists N$ tüm $x$ için ortak’ ifadesi, noktasal yakınsamanın gerektirdiği ‘her $x$ için bir $N$ bulunur’ şartı sağlanmış oldu.” 11

”Dikkat!” Kısmı (Tersi Doğru Değil)

Alıntı (Slayt): “NY $⟹$ DY” (üzeri çizili) 12

Açıklaması:

Teoremin tersi doğru değildir.

Sadece “noktasal yakınsak” (NY) olması, “düzgün yakınsak” (DY) olduğu anlamına gelmez13.

Neden?

Noktasal yakınsaklıkta, her $x$ noktasının limite “kendi hızıyla” yakınsamasına izin verilir.

• $x=0.1$ için $N=10$ gerekebilir.

• $x=0.5$ için $N=100$ gerekebilir.

• $x=0.9$ için $N=1,000,000$ gerekebilir.

Eğer yakınsama hızı $x$‘e bağlı olarak sürekli yavaşlıyorsa (gittikçe daha büyük $N$‘ler gerekiyorsa), o zaman tüm $x$‘ler için ortak çalışan tek bir $N$ eşiği bulamayız. Bu durumda dizi NY olur, ama DY olmaz. (Örnek 2’deki $f_n(x)=x^n$ gibi).