Dini Teoremi

---

etiketler: düzgün-yakınsaklık kaynak: “Louis Brand, Sayfa 404”

Dini Teoremi

Dini Teoremi, noktasal yakınsaklığın hangi özel koşullar altında düzgün yakınsaklığa dönüştüğünü belirten güçlü bir araçtır. Özellikle $[a,b]$ gibi kapalı ve sınırlı (kompakt) kümeler üzerinde çalışırken çok kullanışlıdır.

Teoremin İfadesi

$\{f_n(x)\}$ fonksiyon dizisinin terimleri ve bu dizinin limit fonksiyonu $f(x)$, $[a,b]$ kapalı aralığında sürekli olsun.

Eğer $\{f_n(x)\}$ dizisi $[a,b]$‘de monoton (azalan veya artan) ise, $\{f_n(x)\}$ dizisi $[a,b]$‘de $f(x)$‘e düzgün olarak yakınsar.

Teoremin Koşulları (Özet):

1. Kompakt Küme: Aralık $[a,b]$ gibi kapalı ve sınırlı olmalıdır.
2. $f_n$ Sürekliliği: Dizideki her $f_n(x)$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde sürekli olmalıdır.
3. $f$ Sürekliliği: Dizinin noktasal limiti olan $f(x)$ fonksiyonu da $[a,b]$ üzerinde sürekli olmalıdır.
4. Monotonluk: Her bir $x\in [a,b]$ için, $f_n(x)$ dizisi $n$‘ye göre monoton olmalıdır (yani, $f_n(x)\le f_{n+1}(x)$ veya $f_n(x)\ge f_{n+1}(x)$ olmalıdır).

Eğer bu dört koşul sağlanırsa, sonuç düzgün yakınsaklıktır.

---

Örnek: $f_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$

Görseldeki örneği inceleyelim. $f_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$ fonksiyon dizisinin $x\in [0,1]$ aralığında düzgün yakınsaklığını Dini Teoremi ile araştıralım.

Dini Teoremi’nin koşullarını tek tek kontrol edelim:

1. Aralık (Kompakt Küme)

Çalıştığımız aralık $x\in [0,1]$‘dir. Bu aralık kapalı ve sınırlıdır (kompakt). (✔️ Koşul 1 sağlandı.)

2. $f_n(x)$ Fonksiyonlarının Sürekliliği

$f_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$ rasyonel bir fonksiyondur. Paydası olan $1+n{x}^2$, $x\in [0,1]$ ve $n\ge 1$ için daima $1+n{x}^2\ge 1$‘dir. Payda hiçbir zaman sıfır olmaz. Bu nedenle, her bir $f_n(x)$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında süreklidir. (✔️ Koşul 2 sağlandı.)

3. Noktasal Limit $f(x)$ ve Sürekliliği

Dizinin noktasal limitini bulalım: $f(x)={\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)={\lim }_{n\to \infty }\frac{x}{1+n{x}^2}$

• Eğer $x=0$ ise: $f_n(0)=\frac{0}{1+0}=0$. ${\lim }_{n\to \infty }0=0$.
• Eğer $x\in (0,1]$ ise: Pay sabit ($x$) iken, payda ($1+n{x}^2$) $n\to \infty$ iken sonsuza gider. ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x}{1+n{x}^2}=0$

Sonuç olarak, noktasal limit fonksiyonu $f(x)=0$‘dır. $f(x)=0$ (sabit fonksiyon), $[0,1]$ aralığında süreklidir. (✔️ Koşul 3 sağlandı.)

4. Monotonluk

Şimdi, dizinin $n$‘ye göre monotonluğunu inceleyelim. $f_n(x)$ ve $f_{n+1}(x)$‘i karşılaştıralım: $f_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$ $f_{n+1}(x)=\frac{x}{1+(n+1)x^2}=\frac{x}{1+n{x}^2+x^2}$

$x\in [0,1]$ aralığında $x^2\ge 0$ olduğundan: $1+n{x}^2+x^2\ge 1+n{x}^2$ Paydalar pozitif olduğundan ve $f_{n+1}$‘in paydası daha büyük (veya $x=0$ ise eşit) olduğundan, kesrin değeri daha küçük olacaktır: $f_{n+1}(x)\le f_n(x)\forall x\in [0,1]$ Bu, dizinin monoton azalan olduğunu gösterir. (✔️ Koşul 4 sağlandı.)

Sonuç

Dini Teoremi’nin tüm koşulları sağlandığı için, $f_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$ dizisi, $f(x)=0$ fonksiyonuna $[0,1]$ aralığında düzgün yakınsar (D.Y.).

İlgili Konular

• Düzgün Yakınsaklık

Bkz: Matematik