Düzgün yakınsaklık

Düzgün yakınsaklık neden noktasal yakınsaklığı kapsar

Düzgün Yakınsama için Supremum Testi (T_n Testi)

- Noktasal Yakınsaklıkta: “Her $x$ noktasını tek tek ele aldığımızda, ona uygun bir $N$ bulabiliriz.” demiştik. $N$ hem $ϵ$‘a hem de $x$‘e bağlıydı: $N(ϵ,x)$. $x=0.5$ için $N=100$ gerekebilirken, $x=0.9$ için $N=1,000,000$ gerekebilirdi.

• Düzgün Yakınsaklıkta: “Her $ϵ>0$ için, bütün $x$‘ler için aynı anda çalışan bir tane $N$ bulabiliriz.” der. $N$ artık $x$‘e bağlı olamaz; sadece $ϵ$‘a bağlıdır: $N(ϵ)$.

Bunu bir oyun gibi düşünün:

• Noktasal: Ben bir $x$ noktası ve bir $ϵ$ hata payı seçerim, siz de bir $N$ (eşik değer) bulursunuz.

• Düzgün: Ben sadece bir $ϵ$ hata payı seçerim (örneğin $ϵ=0.1$). Sizin bulduğunuz tek bir $N$ (örneğin $N=1000$), $n>1000$ olduğunda $f_n(x)$‘in $f(x)$‘e $0.1$‘den daha yakın olmasını aralıktaki tüm $x$‘ler için aynı anda garantilemelidir.

Slayttaki İngilizce (Folland) tanım da bu “can alıcı noktayı” vurguluyor:

Alıntı (Slayt): “The crucial point in this definition is that N depends only on $ϵ$ and not on $x\in A$, whereas for a pointwise convergent sequence N may depend on both $ϵ$ and x.” 3

(Çevirisi: Bu tanımdaki can alıcı nokta, N’nin sadece $ϵ$‘a bağlı olup $x\in A$‘ya bağlı olmamasıdır, oysa noktasal yakınsak bir dizide N hem $ϵ$‘a hem de $x$‘e bağlı olabilir.)

Özetle: Düzgün yakınsaklık, dizideki fonksiyonların limit fonksiyonuna “hep birlikte”, “aynı hızda” yakınsamasını talep eder. Noktasal yakınsaklık ise bazı $x$‘lerin çok hızlı, bazılarının (Örnek 2’de $x\to 1$ durumu gibi) keyfi olarak yavaş yakınsamasına izin veriyordu4. İşte bu “aynı hızda yakınsama” şartı, limit ve integral/türev işlemlerinin yer değiştirebilmesi için aradığımız anahtar olacak.