basis vectors

See also: Linear Algebra, AUV, column space, null space, solution space

“For ${\mathbb{R}}^n$, $S=\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,\dots ,{\vec{e}}_n\}$ form a basis. Where ${\vec{e}}_i=[0,\dots ,1,\dots ,0{]}^T$ ($i$-th element is 1).”

${\mathbb{R}}^3$ Örneği ve İspat

${\mathbb{R}}^3$‘teki standart bazın gerçekten bir baz olduğunu ispatlıyor.

1. Lineer Bağımsızlık Testi (Determinant Yöntemi):

Tahtadan Alıntı: “Linear independence: $|A|=\det (I)=1\ne 0,⟹\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ are linearly independent.”

Analiz:

Vektörleri sütun olarak yan yana dizdiğinde bir Birim Matris (Identity Matrix) oluşur. Birim matrisin determinantı 1’dir. Determinant 0 olmadığı için bu vektörler kesinlikle bağımsızdır. Yani hiçbiri diğerinin alternatifi değildir. 2. Germe (Span) Testi:

Tahtadan Alıntı: “Let $\vec{v}=[x,y,z{]}^T\in {\mathbb{R}}^3$. If $\vec{v}$ can be written as a linear combination of ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3$…”

Analiz:

Herhangi bir $[x,y,z]$ vektörünü şu şekilde yazabilirsin:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Bu, uzaydaki her noktanın bu üç vektörle tanımlanabileceğini kanıtlar.

Mühendislik Bağlantısı (Robotik Frame):

AUV’nin üzerindeki sensörler (IMU, DVL) kendi yerel eksenlerine (Body Frame) göre veri basar. Bu yerel eksen aslında bir “Standart Baz”dır ($\vec{i},\vec{j},\vec{k}$). Robotun “ileri” gitmesi, $\vec{i}$ yönünde katsayıyı artırmak demektir.

---

“If we choose $S=\{t^2,t,1\}$ … $S$ is known as the NATURAL (or STANDARD) basis for $P_2$.”

Analiz:

$P_2$ uzayı, derecesi en fazla 2 olan polinomların (parabollerin) dünyasıdır ($a{t}^2+bt+c$).

Burada “vektörlerimiz” şunlardır:

• ${\vec{v}}_1=t^2$

• ${\vec{v}}_2=t$

• ${\vec{v}}_3=1$

Bunlar lineer bağımsızdır çünkü $t^2$‘yi, $t$ ve $1$ kullanarak elde edemezsin (biri eğri, biri doğru, biri sabit).

Genelleme: $P_n$ uzayının boyutu $n+1$‘dir. Boyut, bir sistemi tarif etmek için gereken minimum bağımsız parametre sayısıdır. Eğer AUV su altında serbestçe yüzüyorsa (x, y, z, roll, pitch, yaw), onun durum uzayı (state space) 6 boyutludur. Bu uzayı tanımlamak için 6 tane bağımsız baz vektörüne ihtiyacın vardır. Eğer sensörlerinden biri bozulursa ve diğer sensörlerin kombinasyonuyla o veriyi üretemiyorsan, “Boyut Kaybı” yaşarsın ve robotun o eksende kör olur.