Nonhomogenous equations

homogenous equations vs nonhomogenous equations

1. Sistemin Tanımı ve Tutarlılık (Consistency)

Tahtadan Alıntı:

“The system in the form $AX=b$ denotes a nonhomogeneous system. For such system the solution may be exist as trivial [unique] or infinitely many solutions… That is, A nonhomogeneous system may be consistent or inconsistent.”

Analiz ve Açıklama:

Burada $AX=b$ denklemini görüyoruz.

• $A$: Katsayılar matrisi (Matrix of coefficients).

• $X$: Bilinmeyenler vektörü.

• $b$: Sabitler vektörü.

Eğer $b\ne 0$ ise, bu sisteme Homojen Olmayan Sistem diyoruz. Eğer $b=0$ olsaydı, sistem “Homojen” olurdu ve her zaman en az bir çözümü (trivial solution, $0$ vektörü) olurdu.

Tahtada “trivial” kelimesi biraz gevşek kullanılmış olabilir. Homojen olmayan bir sistemde $X=0$ (trivial çözüm) asla bir çözüm olamaz (çünkü $A(0)=0\ne b$). Burada hoca muhtemelen “Unique Solution” (Tek Çözüm) durumunu kastediyor.

Tahta bize 3 temel senaryoyu hatırlatıyor:

1. Tek Çözüm (Unique): Doğrular/Düzlemler tek bir noktada kesişir.

2. Sonsuz Çözüm (Infinitely Many): Doğrular/Düzlemler çakışıktır veya bir doğru boyunca kesişirler (Serbest değişkenler vardır).

3. Çözüm Yok (Inconsistent): Doğrular/Düzlemler paraleldir, asla kesişmezler.

---

2. Çözüm Metodu: Augmented Matrix

Tahtadan Alıntı:

“To find a basis for the solution set of $AX=b$…

1. Write the augmented matrix $[A|b]$. By applyin elementary row operations find the solution set if there exists”

Analiz ve Açıklama:

Mühendislikte bir sistemi çözmenin en “algoritmik” yolu budur. Matrisi genişletiriz: $[A|b]$.

Burada yapılan işlem Gaussian Elimination (veya Gauss-Jordan) yöntemidir. Amacımız matrisi Row Echelon Form (REF) veya Reduced Row Echelon Form (RREF) haline getirmek.

Neden bunu yapıyoruz?

Çünkü “Elementary Row Operations” (Satır işlemleri), denklemlerin çözüm kümesini değiştirmez. Sistemin “genetiğiyle” oynamadan, onu en sade haline (pivotları ve serbest değişkenleri görebileceğimiz hale) getiririz.

• Eğer RREF sonucunda $[00\dots 0|5]$ gibi bir satır görürsen (yani $0=5$), sistem Inconsistent (Tutarsız) demektir. Çözüm yoktur.

---

3. Çözümün Anatomisi: Genel Çözüm = Özel + Homojen

Bu kısım tahtanın (ve lineer cebirin bu konusunun) kalbidir.

Tahtadan Alıntı:

“2) If there exists, we will find the solution in the form

$X=\underset{X_p}{\underbrace{[constantvector]}}+\underset{X_h}{\underbrace{c_1{u}_1+c_2{u}_2+...+c_k{u}_k}}$

$X_p=\text{The particular sol.}$

$X_h=\text{Homogeneous solution}$”

Derinlemesine Analiz:

Bu formül, lineer sistemlerin “Süperpozisyon İlkesi”nin (Superposition Principle) doğrudan bir sonucudur. Diferansiyel denklemler dersinde de aynısını göreceksin ($y=y_h+y_p$).

Denklemimiz: $AX=b$.

Çözümün yapısı şöyledir:

$X=X_p+X_h$

Bunu kanıtlayalım (Feynman tarzı basitlikte):

1. $X_p$ (Particular Solution): Sistemin sağ tarafını ($b$) sağlayan herhangi bir “özel” çözümdür. Yani $A{X}_p=b$.

2. $X_h$ (Homogeneous Solution): Sistemin sağ tarafını sıfırlayan ($0$) çözümler kümesidir (Null Space / Kernel). Yani $A{X}_h=0$.

Şimdi bu ikisini toplayıp $A$ matrisine sokalım:

$A(X_p+X_h)=A{X}_p+A{X}_h$

Lineerlik gereği dağıttık. Bildiklerimizi yerine yazalım:

$=b+0$

$=b$

Gördüğün gibi, $X_p$‘nin üzerine ne kadar $X_h$ eklersen ekle, sonuç hala $b$ çıkar. Çünkü $X_h$, matrisin “yutan elemanıdır”, $b$‘ye etki etmez, sadece $X$ uzayında “gezmeni” sağlar.

Geometrik Olarak Ne Oluyor?

• $X_h$: Orijinden geçen bir alt uzaydır (bir doğru veya düzlem).

• $X_p$: Bu alt uzayı orijinden alıp, uzayda başka bir yere “öteleyen” (shift) vektördür.

Yani homojen olmayan bir sistemin çözüm kümesi, orijinden geçmeyen bir düzlem (affine subspace) belirtir.

Bkz: Matematik • Engineering • Feynman