Sürekli fonksiyonlar ve dizi limitleri

Bu teorem, “limit” ve “sürekli fonksiyon” (continuous function) kavramlarını birbirine bağlayan çok güçlü bir araçtır.

Teoremin Anlamı Nedir?

Teorem diyor ki: Elimizde bir $L$ sayısına yakınsayan (converging) bir $\{a_n\}$ dizisi varsa ve bu $L$ noktasında sürekli olan bir $f$ fonksiyonumuz varsa, o zaman $f(a_n)$ dizisi de $f(L)$ değerine yakınsar.

Basitçe söylemek gerekirse, eğer bir fonksiyon sürekliyse, limiti fonksiyonun içine “atabilirsiniz”.

Matematiksel olarak:

${\lim }_{n\to \infty }f(a_n)=f\left({\lim }_{n\to \infty }{a}_n\right)$

Bu eşitliğin geçerli olabilmesi için iki kritik şart vardır:

1. İçerideki $\{a_n\}$ dizisinin bir limiti ($L$) olmalı.

2. Dışarıdaki $f$ fonksiyonu bu $L$ limit noktasında sürekli olmalı.

Örnek Analizi

Görseldeki örneği inceleyelim:

${\lim }_{n\to \infty }\sqrt{\frac{n}{2n+1}}$

Bu problemi teorem 3’ü kullanarak nasıl çözebiliriz?

1. İç Dizi ve Dış Fonksiyonu Belirleyelim:

   • İçerideki dizi: $a_n=\frac{n}{2n+1}$

   • Bu diziyi “içine alan” dış fonksiyon: $f(x)=\sqrt{x}$

2. İç Dizinin Limitini Bulalım:

   an​‘in limitini hesaplayalım. Payı ve paydayı en yüksek dereceli terim olan n’e bölebiliriz:

   $L={\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{2n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$

   n→∞ iken n1​→0 olacağından, limit:

   $L=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$

   Dizimiz 21​‘ye yakınsıyor.

3. Dış Fonksiyonun Sürekliliğini Kontrol Edelim:

   Dış fonksiyonumuz f(x)=x​. Bu fonksiyon, dizinin limiti olan L=21​ noktasında sürekli midir? Evet, köklü fonksiyonlar tanımlı oldukları pozitif sayılarda süreklidir.

4. Teoremi Uygulayalım:

   Tüm şartlar sağlandığı için limiti fonksiyonun içine alabiliriz:

   ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt{\frac{n}{2n+1}}=\sqrt{{\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{2n+1}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

   Görseldeki çözüm de tam olarak bunu yapıyor.

---

Teorem 4: Fonksiyon Limitinden Dizi Limitine Geçiş

Bu teorem, fonksiyonların limitleri (calculus’ta $x\to \infty$ durumu) ile dizilerin limitleri ($n\to \infty$ durumu) arasında bir köprü kurar.

Teoremin Anlamı Nedir?

Teorem şunu söyler: Eğer bir $f(x)$ fonksiyonunun $x\to \infty$ iken limiti $L$ ise ve biz bu fonksiyondaki $x$ yerine tamsayılar ($n$) koyarak bir $a_n=f(n)$ dizisi oluşturursak, bu dizinin limiti de $L$ olur.

Sezgisel olarak: Eğer bir fonksiyonun grafiği $x$ sonsuza giderken $y=L$ yatay çizgisine (horizontal asymptote) yaklaşıyorsa, bu grafiğin üzerindeki tamsayı noktaları ($x=1,2,3,...$) da doğal olarak aynı $L$ çizgisine yaklaşmak zorundadır.

Matematiksel olarak:

$\text{Eg˘er }{\lim }_{x\to \infty }f(x)=L\text{ ise, o zaman }{\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L(\text{burada }{a}_n=f(n))$

Bu Teorem Neden Faydalıdır?

Dizilerin limitlerini bulmak için bazen zorlanabiliriz. Ancak bu teorem sayesinde, dizi limitini bir fonksiyon limiti problemine dönüştürebiliriz. Fonksiyon limitleri için kullanabileceğimiz çok daha fazla aracımız var, örneğin L’Hôpital Kuralı.

Örnek:

an​=nln(n)​ dizisinin limitini bulmak istediğimizi varsayalım.

1. İlgili Fonksiyonu Tanımla:

   an​=f(n) olacak şekilde f(x)=xln(x)​ fonksiyonunu tanımlayalım.

2. Fonksiyonun Limitini Hesapla:

   Şimdi limx→∞​f(x)‘i bulalım. x→∞ iken hem ln(x)→∞ hem de x→∞. Bu bir ∞∞​ belirsizliğidir. Dolayısıyla L’Hôpital Kuralı’nı uygulayabiliriz (pay ve paydanın ayrı ayrı türevini alırız):

   ${\lim }_{x\to \infty }\frac{\ln (x)}{x}\stackrel{\text{L’H}}{\to }{\lim }_{x\to \infty }\frac{\frac{d}{dx}(\ln (x))}{\frac{d}{dx}(x)}={\lim }_{x\to \infty }\frac{\frac{1}{x}}{1}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$

3. Teoremi Kullanarak Sonuca Ulaş:

   Çünkü limx→∞​f(x)=0 olduğunu bulduk, Teorem 4’e göre ilgili dizinin limiti de aynı olmalıdır:

   ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln (n)}{n}=0$

Umarım bu açıklamalar her iki teoremin de mantığını daha net hale getirmiştir!

Bkz: Matematik • Fizik